해밀턴 역학에서 디랙 괄호(영어: Dirac bracket)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.[1][2]
해밀턴 계
가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체
는 계의 위상 공간이고,
는 계의 해밀토니언이다.
위의 매끄러운 함수들의 대수를
이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호
![{\displaystyle \{f,g\}=(\omega ^{-1})^{\mu \nu }\partial _{\mu }f\partial _{\nu }g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527e57128915acd860e017a903d135f8794445fa)
가 존재한다.
이 계 위에 주어진 구속(영어: constraint)
는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.
는
의 아이디얼이자,
에 대한 자유 가군이다. 즉,
- 임의의 함수
및 제약
에 대하여,
이다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
의 기저
가 존재한다. 즉, 임의의
를
(
)의 꼴로 나타낼 수 있다.
- (일관성) 쌍대가군
의 원소
가 존재하여, 다음을 만족시킨다.![{\displaystyle (\{\phi ,H\}+u_{i}\{\phi ,\phi ^{i}\})|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71d401884cfb1e35613d2e760f287b7f64e92fa)
여기서,
은 구속된 상태 공간
으로, 다음과 같다.
![{\displaystyle {\tilde {M}}=\{x\in M|\phi ^{i}(x)=0\forall \phi \in \Phi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e0f597b30179f942798cfeb2f06337ed5e6177)
즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.
1종 구속(영어: first-class constraint)의 집합
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \Phi _{1}=\{\phi _{1}\in \Phi \colon \{\phi _{1},\Phi \}|_{\tilde {M}}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fc47c0a6eaf39ff5428fcf80228089287fd230)
모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.
![{\displaystyle \{\Phi _{1},H\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd803fac061789b1addbc07487db0d7b96b7608)
또한, 1종 구속들의 집합
역시
의 아이디얼이자,
-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수
와 1종 제약
에 대하여,
이다.
이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다.
짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to \Phi _{1}\hookrightarrow \Phi \twoheadrightarrow \Phi _{2}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e331eefbe5c7f016105dd311ebd1d699d5652b06)
은 분할 완전열이며, 따라서
를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \Phi \cong \Phi _{1}\oplus \Phi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47629084a4827b76b3aec346eb3ac5c3515819e6)
물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다.
을 2종 구속(영어: second-class constraint)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.
2차 구속
의 기저를
로 잡자. 그렇다면 행렬
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle \{\phi _{2}^{i},\phi _{2}^{j}\}C_{jk}=\delta _{i}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813c73204b1af2875af955613a308fddfe8c3be2)
이 경우, 디랙 괄호
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi _{2}^{i}\}C_{ij}\{\phi _{2}^{j},g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e644e39871142bbb0c299d27eb290adf1cd06e4d)
제약된 해밀턴 계
에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수
의 시간 변화
는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\dot {f}}=\{f,H\}_{\text{D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710b5f6ce531ffd216457e5fd92d73d02bc9758a)
이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다.
![{\displaystyle \{\phi ,H\}_{\text{D}}|_{\tilde {M}}=0\forall \phi \in \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466408f13fbcaf31d7721ab358ed579f678bc805)
즉, 임의의 2종 구속
의 경우
![{\displaystyle \{\phi _{2}^{i},H\}_{\text{D}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c396cb5cf4106262f4e23138ba483ea3fa468198)
이고, 임의의 1종 구속
의 경우
![{\displaystyle \{\phi _{1}^{i},H\}_{\text{D}}=\{\phi _{1}^{1},H\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd5284dde5eaa18eb5e8bca299ed8850d9a3ea4)
이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만,
에 국한하면 유일하다.
심플렉틱 다양체
위에, 전하
의 입자가 자기장
와 위치 에너지
에 영향을 받는다고 하자.[3][4] 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.
![{\displaystyle L(x,{\dot {x}})=qA_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-V(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e38b4acc32ac8c968c6d2c3da2b68ea19b8b31e)
여기서
는 자기 퍼텐셜로,
![{\displaystyle (dA)_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }=B\omega _{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c740086ff27c4a6277da5575c32916d0ba81ccf1)
를 만족시킨다. 편의상
![{\displaystyle A_{\nu }={\frac {1}{2}}Bx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ef0ce7d926bb4b1062198c64ded4c49346bddf)
으로 놓을 수 있다. 즉,
![{\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\omega _{\mu \nu }-V(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5883e80ffd40e79e83a32b17a398ce9041fd9bc)
이다.
이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.
![{\displaystyle p_{\nu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\nu }}}={\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5d9b6a189ee2b12a999f615c655b24d81663fe)
즉, 해밀토니언은 다음과 같다.
![{\displaystyle H=p_{\mu }{\dot {x}}^{\mu }-L=V(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5423643e62b0e7c171854a28f295436f3a89ee)
또한, 정준 운동량들은 시간 도함수
,
를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.
![{\displaystyle \phi _{\nu }=p_{\nu }-{\frac {1}{2}}qBx^{\mu }\omega _{\mu \nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb13f8682847319eb6db11412c439b075356917)
이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{\phi _{\mu },\phi _{\nu }\}=qB\omega _{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1765edbf9a272c94c7d56f21a140f38dbf47234)
이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+{\frac {1}{qB}}\{f,\phi _{\mu }\}\omega ^{\mu \nu }\{\phi _{\nu },g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddd709ed1398d7502127b4aba4ca8c551d1ca73)
특히,
![{\displaystyle \{x^{\mu },x^{\mu }\}_{\text{D}}=-\omega ^{\mu \nu }/(qB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908449f97a8500661ede7eb70c8df39b0f0e7ba4)
이므로, 이를 양자화하면
![{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hbar \omega ^{\mu \nu }/(qB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99761bfcb8f75473d3f7b2a3a6f4a14747363189)
이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.
이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간
자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜
가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조
의 코호몰로지류
가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량
가 심플렉틱 구조
와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜
의 경우 순서가 모호하게 된다.
리만 다양체
위에 존재하는, 질량
의 입자가 위치 에너지
의 영향을 받고, 또한 어떤 함수
의 영집합
에 구속되었다고 하자.[5] 이 경우, 임의의
에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.
![{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}g^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }+V(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71636919d2d84ecbb8583616f34811a88359875c)
물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.
![{\displaystyle \phi ^{1}=C(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da051e6fa486cbd2eee5fa27fcaf45405be48cd8)
![{\displaystyle \phi ^{2}=g^{\mu \nu }p_{\mu }\partial _{\nu }C(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552816eff427f37b1b4e04909df77df77942615)
이 경우,
![{\displaystyle \{\phi ^{1},\phi ^{2}\}=g^{\mu \nu }\partial _{\mu }C\partial _{\nu }C=(\partial C)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6a732be22cd53ed5cf5e5cae7c248ac556c4da)
이다. 따라서, 만약
에서
이라면,
과
둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여
이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)
이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi ^{i}\}\epsilon _{ij}\{\phi ^{j},g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4972ce4f90c4e88ac4b48c42668118b3913fd49a)
예를 들어,
![{\displaystyle \{x^{\mu },x^{\nu }\}_{\text{D}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe46263bb9978e0eaacad43e8217f0fde071508f)
![{\displaystyle \{x^{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=\delta _{\nu }^{\mu }-(\partial C)^{-2}\partial ^{\mu }C\partial _{\nu }C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decfd3118328f26e02932d0f2af6eb49962a555e)
![{\displaystyle \{p_{\mu },p_{\nu }\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^{\rho }\left((\nabla _{\rho }\partial _{\mu }C)(\partial _{\nu }C)-(\partial _{\mu }C)(\nabla _{\rho }\partial _{\nu }C)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d706dd6b55e6199b85bae264806c2311fa0bc0c)
가 된다.